VELOCIDAD Y ACELERACION VECTORIAL

Velocidad y aceleración vectoria

Velocidad

Vamos a ver ahora a una partícula, que atraviesa un espacio en una curva. Para el tiempo t se halla en P, para el tiempo t + Δt en Q. El lugar del punto esta descrito por su vector posición 'r'. Esta es una función de t y esta descrita por una función vectorial 'r'(t).

Asi:

\overrightarrow r (t) = x\,\overrightarrow i + y\,\overrightarrow j + z\overrightarrow k

y

\overrightarrow r (t + \Delta t) = \left( {x + \Delta x} \right)\overrightarrow i + \left( {y + \Delta y} \right)\overrightarrow j + \left( {z + \Delta z} \right)\overrightarrow k \,,

donde i, j y k son los vectores unitarios de los ejes de cordenadas.
El desplazamiento de la partícula en un determinado intervalo de tiempo es:

\Delta \overrightarrow r = \overrightarrow r \left( {t + \Delta t} \right) - \overrightarrow r \left( t \right) = \Delta x\,\overrightarrow i + \Delta y\,\overrightarrow j + \Delta z\,\overrightarrow k \,.

El cociente Δr/Δt es la velocidad media (vectorial) vm de la partícula en el intervalo de tiempo Δt. Es

\frac{{\Delta \overrightarrow r }} {{\Delta t}} = \frac{{\Delta x}} {{\Delta t}}\overrightarrow i + \frac{{\Delta y}} {{\Delta t}}\overrightarrow j + \frac{{\Delta z}} {{\Delta t}}\overrightarrow k \,.

Aqui es (mirar arriba: rapidez y aceleración) Δx/Δt la rapidez media de la partícula paralela al eje X, Δy/Δt la rapidez media paralela al eje Y y Δz/Δt la rapidez media paralela al eje Z en un intervalo Δt.
El vector resultante, del cociente Δr/Δt para Δt cercano a cero, se llama velocidad vP = v'(t) de la particula en P o en el tiempo t.

\overrightarrow v _P = \overrightarrow v (t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \overrightarrow r }} {{\Delta t}} = \frac{{\operatorname{d} \overrightarrow r }} {{\operatorname{d} t}} = \frac{{\operatorname{d} x}} {{\operatorname{d} t}}\overrightarrow i + \frac{{\operatorname{d} y}} {{\operatorname{d} t}}\overrightarrow j + \frac{{\operatorname{d} z}} {{\operatorname{d} t}}\overrightarrow k \,.

La función vectorial v'(t) es la primera derivada de la función de posición r(t) en el tiempo.

\overrightarrow v (t) = \frac{{\operatorname{d} \overrightarrow r }} {{\operatorname{d} t}} = \dot\vec r

Como se ve, son las componentes escalares del vector v(t) identicos con la velocidad instantanea paralela a los ejes:

v_x = \frac{{\operatorname{d} x}} {{\operatorname{d} t}},\quad v_y = \frac{{\operatorname{d} y}} {{\operatorname{d} t}},\quad v_z = \frac{{\operatorname{d} z}} {{\operatorname{d} t}}\,.

El recta en el punto P en la direccion del vector vP se llama La Tangente a la curva en P


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